PINTANDO UN ARCO IRIS DE AMOR: mayo 2013

Ejercicios De Divisibilidad

EJERCICIOS para aplicar criterios de divisibilidad:

1) Completa la tabla “es divisible entre”, marcando con una cruz.

es divisible entre	2	3	4	5	9
519		X
3315
6420
186
1998

2) ¿Verdadero o falso?

Todos los números terminados en 3 son múltiplos de 3.

Todos los números divisibles por 2 son divisibles entre 4.

Todos los números divisibles por 4 son divisibles entre 2.

Existen números que terminan en 4 y son divisibles entre 5.

Todos los números divisibles entre 10 lo son entre 2 y 5.

3) Completa la tabla siguiente:

Nº	DIVISIBLE ENTRE
Nº	2	3	5	10
558
1655
517
1000
4096

4) Encuentra la cifra a para que 372a sea divisible por 2, 3 y 5.

Actividad 5

1) ¿Cuál es el menor número de 4 cifras que es divisible por 2, por 3 y por 4,

simultáneamente?

2) ¿Cuál es el menor número de 4 cifras que es divisible por los siguientes números

simultáneamente: 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9?

Actividad 6

1) En el número de cuatro cifra 293c, ¿Qué valores debe tener la cifra c para que el

número sea divisible por 3?.

2) El número de dos cifras 9a es divisible por 2 y el número de dos cifras 5a es divisible

por 3. Hallar el valor de a.

3) Usando sólo las cifras 1, 2 y 3, y al menos una de cada una de ellas, formar un número que sea

divisible por 8 y 9. Luego, determinar el menor número que sea divisible por 8 y 9.

Criterios de Divisibilidad por los primeros números primos

Número	Regla
2	Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. 20, 72, 134, 216, 3218, 58616
3	Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3. (Si la suma es mayor de 9 se suman de nuevo sus cifras). 12 (1+2=3), 132 (1+3+2=6), 261 (2+6+1=9), 753 (7+5+3=15, 1+5=6)
5	Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5. 10, 25, 40, 65, 125, 3215
7	Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número, sin la cifra de las unidades, y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7. Si la diferencia es mayor de 77, repetimos el proceso, 84→8 - (2x4) = 8 - 8 = 0 ⇔ 238 →23 - (2x8) = 23 - 16 = 7 2807 →280 - (2x7) = 280 - 14 = 266→26 -(2x6) = 26 - 12 = 14 = 2x7
11	Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugares pares y la suma de las cifras que ocupan lugares impares es 0, 11 ó múltiplo de 11. 132→(2+1 = 3; 3-3 = 0)⇔2816→(8+6 = 14; 2+1 = 3; 14-3 = 11) 71929→ (7+9+9 = 25; 1+2 = 3; 25-3 = 22 = 2x11)

También es importante, para la búsqueda de los divisores de un número, conocer las reglas de divisibilidad de los primeros números compuestos.

Criterios de Divisibilidad por los primeros números compuestos

Número	Regla
4	Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4. (La mitad termina en cifra par). 104, 208, 312, 716, 920, 1148, 2172, 35796
6	Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo. (Termina en cifra par y la suma de sus cifras es múltiplo de 3). 72→(7+2=9), 114→(1+1+4=6), 4368→(4+3+6+8=21, 2+1=3)
8	Un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8. (La mitad, de la mitad termina en cifra par). 1008, 2016, 3024, 4032, 13040.
9	Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9. (Si la suma es mayor de 9 se suman de nuevo sus cifras). 72→(7+2=9), 261→(2+6+1=9), 684→(6+8+4=18, 1+8=9)
10	Un número es divisible por 10 cuando termina en 0. 30,120, 3320,12460

Cálculo de los Divisores de un número

Como vimos anteriormente, para hallar los divisores de un número D, lo vamos dividiendo sucesivamente entre 1, 2, 3, 4,..., D. Los divisores de D serán aquellos números que lo dividan exactamente, es decir den de resto 0. Aplicando los Criterios de Divisibilidad, sólo tendremos que hacer las divisiones por los números por los que D sea divisible.

Si la división es exacta, D:d = c, entonces el divisor(d) y el cociente(c) sondivisores de D, lo que nos permite acortar la búsqueda de divisores, pues de cada división exacta obtenemos dos divisores.

Terminaremos de buscar más divisores cuando lleguemos a una división en la que el cociente sea menor o igual que el divisor.

Veamos, como ejemplo, el cálculo de los divisores del número 54
Divisores de 54 ⇒ 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54
Cálculo de divisores	Divisores
Todo número tiene como divisores a la unidad y a él mismo	1 y 54
Es divisible por 2. (Termina en cifra par) → 54 : 2 = 27	2 y 27
Es divisible por 3. (5+4=9, múltiplo de 3) → 54 : 3 = 18	3 y 18
Es divisible por 6. (Al ser divisible por 2 y por 3) → 54 : 6 = 9	6 y 9
Es divisible por 9. (5+4=9, múltiplo de 9) → 54 : 9 = 6. Como el cociente 6 es menor que el divisor 9, ya hemos terminado.	9 y 6 (Repetidos)