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miércoles, 22 de mayo de 2013

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Criterios de Divisibilidad por los primeros números primos
NúmeroRegla
2Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.
20, 72, 134, 216, 3218, 58616
3Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3. (Si la suma es mayor de 9 se suman de nuevo sus cifras).
12 (1+2=3), 132 (1+3+2=6), 261 (2+6+1=9), 753 (7+5+3=15, 1+5=6)
5Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.
10, 25, 40, 65, 125, 3215
7Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número, sin la cifra de las unidades, y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7. Si la diferencia es mayor de 77, repetimos el proceso,
84→8 - (2x4) = 8 - 8 = 0 ⇔ 238 →23 - (2x8) = 23 - 16 = 7
2807 →280 - (2x7) = 280 - 14 = 266→26 -(2x6) = 26 - 12 = 14 = 2x7
11Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugares pares y la suma de las cifras que ocupan lugares impares es 0, 11 ó múltiplo de 11.
132→(2+1 = 3; 3-3 = 0)⇔2816→(8+6 = 14; 2+1 = 3; 14-3 = 11)
71929→ (7+9+9 = 25; 1+2 = 3; 25-3 = 22 = 2x11)


También es importante, para la búsqueda de los divisores de un número, conocer las reglas de divisibilidad de los primeros números compuestos.

Criterios de Divisibilidad por los primeros números compuestos
NúmeroRegla
4Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4. (La mitad termina en cifra par).
104, 208, 312, 716, 920, 1148, 2172, 35796
6Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo. (Termina en cifra par y la suma de sus cifras es múltiplo de 3).
72→(7+2=9), 114→(1+1+4=6), 4368→(4+3+6+8=21, 2+1=3)
8Un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8. (La mitad, de la mitad termina en cifra par).
1008, 2016, 3024, 4032, 13040.
9Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9. (Si la suma es mayor de 9 se suman de nuevo sus cifras).
72→(7+2=9), 261→(2+6+1=9), 684→(6+8+4=18, 1+8=9)
10Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.
30,120, 3320,12460

Cálculo de los Divisores de un número
Como vimos anteriormente, para hallar los divisores de un número D, lo vamos dividiendo sucesivamente entre 1, 2, 3, 4,..., D. Los divisores de D serán aquellos números que lo dividan exactamente, es decir den de resto 0. Aplicando los Criterios de Divisibilidad, sólo tendremos que hacer las divisiones por los números por los que D sea divisible.

Si la división es exacta, D:d = c, entonces el divisor(d) y el cociente(c) sondivisores de D, lo que nos permite acortar la búsqueda de divisores, pues de cada división exacta obtenemos dos divisores.

Terminaremos de buscar más divisores cuando lleguemos a una división en la que el cociente sea menor o igual que el divisor.

Veamos, como ejemplo, el cálculo de los divisores del número 54
Cálculo de divisoresDivisores
Todo número tiene como divisores a la unidad y a él mismo1 y 54
Es divisible por 2. (Termina en cifra par) → 54 : 2 = 272 y 27
Es divisible por 3. (5+4=9, múltiplo de 3) → 54 : 3 = 183 y 18
Es divisible por 6. (Al ser divisible por 2 y por 3) → 54 : 6 = 96 y 9
Es divisible por 9. (5+4=9, múltiplo de 9) → 54 : 9 = 6. Como el cociente 6 es menor que el divisor 9, ya hemos terminado.9 y 6 (Repetidos)
Divisores de 54 ⇒ 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54